这篇文章，是我对 高等数学-上册 中 “微分” 概念的理解。
1. “微分”的定义
微-分，分成很多微小的份数。
定义为：函数在某一点的局部线性近似。它体现的是一种极限思想。
它解决问题的思想，类似于：
假设我们无法计算曲线的长度，那么我们就把它转化为简单的直线计算，只要把曲线切割份数足够多，它整体看起来就无限接近曲线（如下图的圆形分段图）。我们就可以认为它们等价。
以此，化繁为简。
2. “微分”的哲学
有时候，我会痴痴的望着从窗帘缝隙里照射进来的阳光，那曾在黑暗中不起眼的尘埃，此刻在阳光的照射下格外清晰活泼，一阵微风吹过，尘埃就在空中盘旋，像在跳舞，好像很有规律，又不知道什么规律。我始终相信，万物都有其规律，这一定符合某个神奇的运动公式，可是那是什么呢？不知道，而且我相信，现在人类肯定尚未发现它。
在科技高速发展的二十一世纪的今天，数学、物理这些基础学科的发展，其实仍然相当落后，与神秘的宇宙相比，“已发现”简直沧海一粟，不值一提，唯有敬畏。
生活中，以及工业等各种场景中，我们总会有很多复杂的无法发现规律的问题需要解决，从整体上严丝合缝地把握一个现象的规律，是极难的一件事，但是问题仍然要去面对和解决，于是我们曲线救国，采用迂回套路：
无法全局把握，那就局部解决，没有全局公式这个指挥棒，那就局部各个击破，以临近的变化规律为辅助，以眼下的小场景作为范围，来达到目标需求。这就是微分的智慧和哲学，也是对真理的一种无奈与妥协。
那么，在哪些场景下会用到微分呢？
根据上面的定义，当我们无法把握某个事物的整体的复杂规律的时候，我们就把它转化为简单的局部性计算。这些场景一般是非线性的，数据曲线呈现复杂的不规则的趋势。
以下分别使用一个 夸张 的例子和 严谨 的例子来讲解。
3. 夸张的例子
假设我们此刻想要计算半径为 10 的圆形面积，那么对于计算方式，
我们可以：使用圆形面积的计算公式 πrr，把半径 r=10 带入进去,就可以得到想要的面积。
但是，假设这个公式是未知的，假设它还没有被发现出来，那么我们如何得到它的面积呢？
有两个方法：
我们可以：使用最笨、最原始的方法，把圆形划分为无限多个小矩形，分别计算它们的面积，然后相加起来，人类对于简单的、规矩的图形的计算总是很拿手；
我们可以：这个方法有个前提，前提是，某个有经验的人士，他曾经对半径为 8附近 的圆面积曾经进行专门的研究，他发现，半径每增加 a , 面积就会增加 b,
那么由于半径 8 和 10 非常的接近，我们又没有其他的办法，那么就简单的认为，在 半径10 的情况下，也遵循在 半径8 时的规律，于是，我们根据 半径8 的比例关系，非常简单地就得到了我们想要的面积值，仅仅乘以一个比例数值。这个方法中用到的，就是微分的思想。
可能你会疑问，在 8 的条件下发现的规律，用在 10 的上面准确吗？
那我想说，你不想手动去测量，面积公式又还没有被发明出来，你又不想闭眼直接懵，那么好不容易有人进行了相近的试验作为可参考，那么为什么不拿来直接用呢？
以上例子，用于讲解 微分 处理问题的思想，但是实际在解决问题的过程中，远远比这个要严谨的多。
4. 严谨的现实
上图中，体现了微分的条件限制：
限制：必须已知局部斜率。也就是在蓝色点附近必须有可用斜率（例如绿色点）。
限制：必须局部线性近似。作为参考值的绿色点，必须与目标蓝色点几乎在一条直线上，即线性近似，因此，绿色点 是有效参考点（斜率/导数），红色点则是无效的；
限制：仅适用于处理微小变化。当变化量较大时，误差会显著增加。因此，绿色点 是有效参考点（斜率/导数），红色点则是无效的；在工程项目中，对这个差异要求的更为严格，差异要求的更小。
5. 严谨的例子
假设上图的曲线图,
是在特定条件下火箭弹发射速度（横轴）和消耗燃料(纵轴)之间的关系，非常复杂，而且我们并不知道一个通用的计算规律，它可能是一个已经存在的、只有鬼才知道的规律，反正我们是不知道它的计算公式。
但是根据以往的火箭发射规律，或者在火箭基地进行过的有限测试，在 红色点 和 绿色点 这两个位置分别进行过测试，知道在那个位置每当速度变化量为 s1 时，燃料会增加 v1，也就是有 2 个可用的辅助依据。 那么我们为什么不利用这个增量关系呢？
而且，绿色点与蓝色点，几乎在同一条直线上，也就是可以认为他们斜率相同，也就是可以认为他们属于简单的线性关系，那么我们直接根据 绿色点 的 变化率 仅仅进行简单的 比例乘法 就得到了 蓝色点 的目标值。
即：用增量的变化规律，推导临近的某个增量值。
可是假设我们不知道 绿色点 处的变化率，只知道 红色点 处的变化率呢？
那就很遗憾了，两个点之间曲曲折折的，红色点处我们只有它的线性变化规律，并不知道这么复杂的曲线变化规律，那就没有办法了，即使强制计算，结果也会极大误差，基本不可用的。
那么继续思考，
红色点 和 绿色点，这2处的斜率值，一般是怎么来的呢？
6. 斜率的获取方式
引申到通用场景，斜率的获取方式，一般有3种：
实时获取：
例如，在火箭发射，自动驾驶，这类场景中，一般系统会实时监测当前的状态的变化率（斜率），通过各种传感器来监测 速度、温度、压力等等，会知道当前实时的斜率；
经验获取：
通过历史数据或者实验，得到某个点的斜率（变化关系，当a变化多少的时候b会变化多少），例如在车速100km/h 下测试刹车距。
小插曲：那么为什么测试的 100km/h 的车速，不是 60km/h，70km/h，80km/h 呢？
因为，测试成本高，不可能测试所有车速下的变化率；
也因为，低速时的刹车更关注平稳性、舒适性，而不是刹车距；对于100km/h 车速下的刹车性能可以覆盖大多数实际需求，在该车速下的刹车性能的好坏，对高速行车安全的影响极大，因此汽车出厂时，对这个车速下可能已经预先测试过了一个经验靠谱的变化率，以此为参考依据来计算附近的点的变化。
理论推导：
例如：圆面积的计算公式 πrr；
例如：空气阻力公式推导某速度下的燃料消耗变化率;
例如：热传导方程推导某温度在的热传导速率;
7. 动态适应性 - 为生命保驾护航
那么，当某个任务既可以使用传统公式计算，又可以微分计算的时候，有什么理由是必须选择微分的呢？那就是微分的 动态适应性 特性。
从上面的示例中，我们看到，根据斜率来计算附近点的某个目标数，计算过程相当简单。在自动驾驶系统中，会监测实时的车速变化率，使用微分方式判断刹车距，仅仅进行一次简单的乘法即可，这个计算可能用时 1ms~2ms , 但是全局公式计算时，根据计算复杂度不同，耗时不同，可能 10ms~20ms, 甚至更多。当 高速行驶过程中，想要紧急刹车，必须以最快的速度完成刹车距离的判断，每快 1 毫秒，就多好几分生命安全的保障，对此具有极其重要的意义。
8. 最大的感受
这是我对高数的概念进行了解的第 4 篇文章，越多地了解高数，越觉得数学很哲学，它不是枯燥的数字（虽然我还没开始学它的计算公式），而是一种认识世界的思维方式，是通向真理最近的路。
期待后续的学习。